Question

20．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
④過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條；
其中真命題的序號(hào)為②④．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離；②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根$\frac{1}{2}$和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③不正確．根據(jù)平行四邊形法則，易得P是AB的中點(diǎn)．由此可知P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；④正確．先看當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，聯(lián)立方程，再看直線斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)求k的值．

解答 解：①不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離．
當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，K=|AB|，顯然這種曲線是射線，而非雙曲線；
②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為$\frac{1}{2}$和2，$\frac{1}{2}$和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③不正確．根據(jù)平行四邊形法則，易得P是AB的中點(diǎn)．根據(jù)垂徑定理，
圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于這條弦，設(shè)圓心為C，
那么有CP⊥AB即∠CPB恒為直角．由于CA是圓的半徑，是定長(zhǎng)，
而∠CPB恒為直角．也就是說(shuō)，P在以CP為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∠CPA為直徑所對(duì)的圓周角．所以P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，如圖．
④正確．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=0，與拋物線方程聯(lián)立求得x=0，y=0，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得k²x²+（2k-4）x+1=0，
當(dāng)k=0時(shí)，y=1代入拋物線求得x=1，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k≠0，要使直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)需△=（2k-4）²-4k²=0，求得k=1，
綜合可知要使直線與拋物線僅有個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條，
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓，雙曲線，拋物線的定義，及圓錐曲線的共同特征---離心率，考查了學(xué)生的靈活把握定義及基礎(chǔ)知識(shí)的能了，是中檔題．