Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，-1＜x≤1}\\{f（{x-2}），1＜x＜3}\end{array}}\right.$，若函數(shù)f（x）在x=x₀處的切線與函數(shù)f（x）的圖象恰好只有3個(gè)公共點(diǎn)，則x₀的取值范圍是$（{0，3-2\sqrt{2}}）∪（{2\sqrt{2}-1，2}）$．

Answer 1

分析 求出當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f（x）的解析式，畫出函數(shù)f（x）在（-1，3）的圖象，設(shè)出切點(diǎn)，討論當(dāng)0＜x₀＜1，當(dāng)1＜x₀＜2時(shí)，分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，代入點(diǎn)（3，1），（-1，1），解方程，結(jié)合圖象和題意，即可得到所求取值范圍．

解答 解：當(dāng)1＜x＜3時(shí)，-1＜x-2＜1，
f（x）=f（x-2）=（x-2）²，
畫出y=f（x）在（-1，3）的圖象，
可得函數(shù)f（x）在x=0處的切線與函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)0＜x₀＜1時(shí)，切點(diǎn)為（x₀，x₀²），
y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
設(shè)切線方程為y=2x₀x+m，
代入切點(diǎn)，可得x₀²=2x₀²+m，即m=-x₀²，
則切線方程為y=2x₀x-x₀²，
當(dāng)切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1）時(shí)，1=6x₀-x₀²，
解得x₀=3-2$\sqrt{2}$（3+2$\sqrt{2}$舍去），
由題意可得當(dāng)0＜x₀＜3-2$\sqrt{2}$時(shí)，切線與y=f（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)1＜x₀＜2時(shí)，切點(diǎn)為（x₀，（x₀-2）²），
y=（x-2）²的導(dǎo)數(shù)為y′=2（x-2），
設(shè)切線方程為y=2（x₀-2）x+n，
代入切點(diǎn)，可得（x₀-2）²）=2（x₀-2）x₀+n，即n=4-x₀²，
則切線方程為y=2（x₀-2）x+4-x₀²，
當(dāng)切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，1）時(shí)，1=-2（x₀-2）+4-x₀²，
解得x₀=-1+2$\sqrt{2}$（-1-2$\sqrt{2}$舍去），
由題意可得當(dāng)-1+2$\sqrt{2}$＜x₀＜2時(shí)，切線與y=f（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．
綜上可得x₀的取值范圍是（0，3-2$\sqrt{2}$）∪（-1+2$\sqrt{2}$，2）．
故答案為：（0，3-2$\sqrt{2}$）∪（-1+2$\sqrt{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查函數(shù)的解析式和圖象的作法，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．