Question

9．乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A、B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C、D．某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球．規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為$\frac{1}{2}$，在D上的概率為$\frac{1}{3}$；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為$\frac{1}{5}$，在D上的概率為$\frac{3}{5}$．假設(shè)共有兩次來球且落在A、B上各一次，小明的兩次回球互不影響．求：
（1）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；
（2）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與均值．

Answer 1

分析 （1）記A_i為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”，
B_i為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”，
D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”；
計(jì)算對應(yīng)的概率值，求出小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率；
（2）由題意隨機(jī)變量ξ可能的取值為0、1、2、3、4、6，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，計(jì)算對應(yīng)的概率，寫出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）記A_i為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”（i=0，1，3），
則P（A₃）=$\frac{1}{2}$，P（A₁）=$\frac{1}{3}$，
P（A₀）=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；
記B_i為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”（i=0，1，3），
則P（B₃）=$\frac{1}{5}$，P（B₁）=$\frac{3}{5}$，
P（B₀）=1-$\frac{1}{5}$-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$；
記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”，
由題意，D=A₃B₀+A₁B₀+A₀B₁+A₀B₃，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，
P（D）=P（A₃B₀+A₁B₀+A₀B₁+A₀B₃）
=P（A₃B₀）+P（A₁B₀）+P（A₀B₁）+P（A₀B₃）
=P（A₃）P（B₀）+P（A₁）P（B₀）+P（A₀）P（B₁）+P（A₀）P（B₃）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{10}$，
所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為$\frac{3}{10}$；
（2）由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0、1、2、3、4、6，
由事件的獨(dú)立性和互斥性，得
P（ξ=0）=P（A₀B₀）=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{30}$，
P（ξ=1）=P（A₁B₀+A₀B₁）=P（A₁B₀）+P（A₀B₁）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=2）=P（A₁B₁）=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=3）=P（A₃B₀+A₀B₃）=P（A₃B₀）+P（A₀B₃）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=P（A₃B₁+A₁B₃）=P（A₃B₁）+P（A₁B₃）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{11}{30}$，
P（ξ=6）=P（A₃B₃）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{10}$．
可得隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{1}{10}$

所以，均值Eξ=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{1}{5}$+3×$\frac{2}{15}$+4×$\frac{11}{30}$+6×$\frac{1}{10}$=$\frac{91}{30}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，也考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算問題，是綜合題．