Question

1．已知f（x）=|x|（x²-3t）（t∈R）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|（x∈[0，2]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

分析 （1）將f（x）寫成分段函數(shù)式，分別求出當(dāng)x≥0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；
（2）求出x∈[0，2]時(shí)的f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)t討論，分t≤0時(shí)，t≥4，0＜t＜$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$≤t≤4，結(jié)合單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≥0}\\{3x-{x}^{3}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=3x²-3，由f′（x）≥0，可得x≥1；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=3-3x²，由f′（x）≥0，可得-1≤x＜0．
∴f（x）的遞增區(qū)間為[-1，0），[1，+∞）．
（2）x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x³-3xt，f′（x）=3（x²-t），
當(dāng)t≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]遞增；
∵$f（0）=0，\end{array}$∴g（x）_max=f（2）=8-6t；
當(dāng)t＞0時(shí)，令f′（x）=0，取x=$\sqrt{t}$，
若$\sqrt{t}$≥2，即t≥4，f（x）在[0，2]遞減，
∵$f（0）=0，\end{array}$∴g（x）_max=-f（2）=6t-8；
$若\sqrt{t}＜2，即0＜t＜4$，∵$令f（x）=0，x=\sqrt{3t}$
①$當(dāng)\sqrt{3t}≥2，即\frac{4}{3}≤t≤4，g{（x）_{max}}=-f（\sqrt{t}）=2t\sqrt{t}$，
②$當(dāng)\sqrt{3t}＜2，即0＜t＜\frac{4}{3}，g{（x）_{max}}=max\left\{{-f（\sqrt{t}），f（2）}\right\}$
=$\left\{\begin{array}{l}2t\sqrt{t}，1＜t＜\frac{4}{3}\\ 8-6t，0＜t≤1\end{array}\right.$．
綜上所述，$F（t）=g{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}8-6t，t≤1\\ 2t\sqrt{t}，1＜t＜4\\ 6t-8，t≥4\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及函數(shù)的最值的求法，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．