Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 a₁=1，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n（n∈N^*），n≥2時(shí)，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{（n-1）^{2}}$=a_n-1．相減可得：$\frac{n+1}{n}{a}_{n}$=$\frac{n}{n-1}{a}_{n-1}$．再利用遞推關(guān)系即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n（n∈N^*），
n≥2時(shí)，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{（n-1）^{2}}$=a_n-1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n-a_n-1，
化為：$\frac{n+1}{n}{a}_{n}$=$\frac{n}{n-1}{a}_{n-1}$．
∴$\frac{n+1}{n}{a}_{n}$=…=2a₁=2．
∴a_n=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．