Question

4．持續(xù)性的霧霾天氣嚴(yán)重威脅著人們的身體健康，汽車(chē)排放的尾氣是造成霧霾天氣的重要因素之一．為了貫徹落實(shí)國(guó)務(wù)院關(guān)于培育戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)和加強(qiáng)節(jié)能減排工作的部署和要求，中央財(cái)政安排專(zhuān)項(xiàng)資金支持開(kāi)展私人購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)補(bǔ)貼試點(diǎn)．2017年國(guó)家又出臺(tái)了調(diào)整新能源汽車(chē)推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼的新政策，其中新能源乘用車(chē)推廣應(yīng)用補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如表：
某課題組從汽車(chē)市場(chǎng)上隨機(jī)選取了20輛純電動(dòng)乘用車(chē)，根據(jù)其續(xù)駛里程R（單詞充電后能行駛的最大里程，R∈[100，300]）進(jìn)行如下分組：第1組[100，150），第2組[150，200），第3組[200，250），第4組[250，300]，制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第1組與第3組的頻率之比為1：4，第2組的頻數(shù)為7．

純電動(dòng)續(xù)駛里程R（公里）	100≤R＜150	150≤R＜250	R＞250
補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)（萬(wàn)元/輛）	2	3.6	44

（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖統(tǒng)計(jì)這20輛純電動(dòng)乘用車(chē)的平均續(xù)駛里程；
（2）若以頻率作為概率，設(shè)ξ為購(gòu)買(mǎi)一輛純電動(dòng)乘用車(chē)獲得的補(bǔ)貼，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由表格分別求出第一組、第二組、第三組、第四組的頻率，由此利用頻率分布直方圖能估計(jì)這20輛純電動(dòng)乘用車(chē)的平均續(xù)駛里程．
（2）由題意知ξ的可能取值為2，3.6，4.4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由表格知第一組的頻率為0.1，第二組的頻率為$\frac{7}{20}=0.35$，
第三組的頻率為0.4，第四組的頻率為0.15，
∴頻率分布直方圖估計(jì)這20輛純電動(dòng)乘用車(chē)的平均續(xù)駛里程為：
125×0.1+175×0.35+225×0.4+275×0.15=205（公里）．
（2）由題意知ξ的可能取值為2，3.6，4.4，
P（ξ=2）=0.1，
P（ξ=3.6）=0.75，
P（ξ=4.4）=0.15，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3.6	4.4
P	0.1	0.75	0.15

Eξ=2×0.1+3.6×0.75+4.4×0.15=3.56．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．