Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，-1＜f（-1）＜1，則2a-b的取值范圍是$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．

Answer 1

分析 由題意可得0＜a+b＜2，-1＜-a+b＜1，作出可行域如圖，設(shè)z=2a-b，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解．

解答 解：∵f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，-1＜f（-1）＜1，
∴0＜a+b＜2，-1＜-a+b＜1，
作出可行域如圖
設(shè)z=2a-b，得b=2a-z，則平移直線b=2a-z，
則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線b=2a-z得截距最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-a+b=-1}\end{array}\right.$可得a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$
此時(shí)z最大為z=2×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線b=2a-z得截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{-a+b=1}\end{array}\right.$可得a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
此時(shí)z最小為z=2×（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴2a-b的取值范圍是$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，
故答案為：$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．