Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-a_n，n∈N^*，令b_n=na_n，記{b_n}的前n項和為T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+b_n對任意正整數(shù)n都成立，則實數(shù)λ的取值范圍為$（-1，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-a_n，n∈N^*，則n=1時，a₁=1-a₁，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n．再利用等比數(shù)列的求和公式與“錯位相減法”可得T_n．對n分類討論即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-a_n，n∈N^*，則n=1時，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-（1-a_n-1），化為：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
令b_n=na_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
不等式（-1）ⁿλ＜T_n+b_n化為：（-1）ⁿλ＜2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
不等式（-1）ⁿλ＜T_n+b_n對任意正整數(shù)n都成立，
當(dāng)n為偶數(shù)時，λ＜2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得λ＜$\frac{3}{2}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時，-λ＜2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得λ＞-1．
綜上可得：實數(shù)λ的取值范圍為$（-1，\frac{3}{2}）$．
故答案為：$（-1，\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．