Question

8．現(xiàn)有$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2，n∈N^*）個(gè)給定的不同的數(shù)隨機(jī)排成一個(gè)下圖所示的三角形數(shù)陣：

設(shè)M_k是第k行中的最大數(shù)，其中1≤k≤n，k∈N*．記M₁＜M₂＜…＜M_n的概率為p_n．
（1）求p₂的值；
（2）證明：p_n＞$\frac{{C}_{n+1}^{2}}{（n+1）!}$．

Answer 1

分析 （1）由題意知p₂=$\frac{2{A}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{3}$，
（2）先排第n行，則最大數(shù)在第n行的概率為$\frac{n}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n+1}$，即可求出為p_n，再根據(jù)二項(xiàng)式定理和放縮法即可證明．

解答 解：（1）由題意知p₂=$\frac{2{A}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{3}$，即p₂的值為 $\frac{2}{3}$．            
（2）先排第n行，則最大數(shù)在第n行的概率為$\frac{n}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n+1}$；   
去掉第n行已經(jīng)排好的n個(gè)數(shù)，
則余下的$\frac{n（n+1）}{2}$-n=$\frac{n（n-1）}{2}$個(gè)數(shù)中最大數(shù)在第n-1行的概率為$\frac{n}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{2}{n}$；
…
故p_n=$\frac{2}{n+1}$×$\frac{2}{n}$×…×$\frac{2}{3}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（n+1）×n×…×3}$=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）!}$．   
由于2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n²＞C_n¹+C_n²=C_n+1²，
故$\frac{{2}^{n}}{（n+1）!}$＞$\frac{{C}_{n+2}^{2}}{（n+1）！}$，即p_n＞$\frac{{C}_{n+1}^{2}}{（n+1）！}$．

點(diǎn)評 本題考查了排列組合的問題，以及二項(xiàng)式定理和放縮法證明不等式成立的問題，屬于中檔題