Question

2．已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）若不等式f（x）＞a²對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值的集合T；
（Ⅱ）設(shè)m、n∈T，證明：$\sqrt{3}$|m+n|＜|mn+3|．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為3，可得3＞a²，由此求得實數(shù)a的取值的集合T；
（2）由（1）可得m²＜3，n²＜3，再整理，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3，不等式f（x）＞a²對任意實數(shù)x恒成立，
∴3＞a²，∴-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$，
∴T={a|-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$}；
（2）證明：由（1）可得m²＜3，n²＜3，
∴（m²-3）（3-n²）＜0，
∴3（m+n）²＜（mn+3）²，
∴$\sqrt{3}$|m+n|＜|mn+3|．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的證明，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．