Question

1．設$f（x）=\frac{（4x+a）lnx}{3x+1}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[1，e]，f（x）≤mx恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導，由題意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；
（Ⅱ）由題意可知：$\frac{4lnx}{3x+1}\;≤\;m$恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，由g'（x）＞0，g（x）在[1，e]單調(diào)遞增，求得g（x）最大值g（x）_max，則m≥g（x）_max，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=\frac{（4x+a）lnx}{3x+1}$，求導，
$f'（x）=\frac{{（\frac{4x+a}{x}+4lnx）（3x+1）-3（4x+a）lnx}}{{{{（3x+1）}^2}}}$，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=1，即f'（1）=1，解得a=0，
∴a的值0；…6分
（Ⅱ）對于任意的x∈[1，e]，f（x）≤mx，即$\frac{4xlnx}{3x+1}\;≤\;mx$恒成立，
即$\frac{4lnx}{3x+1}\;≤\;m$恒成立，…8分
設$g（x）=\frac{4lnx}{3x+1}$，$g'（x）=\frac{{12（1-lnx）+\frac{4}{x}}}{{{{（3x+1）}^2}}}$，…10分
由x∈[1，e]，則g'（x）＞0，g（x）在[1，e]單調(diào)遞增，
∴g（x）最大值為$g（e）=\frac{4}{3e+1}$，
∴$m\;≥\;\frac{4}{3e+1}$，
m的取值范圍[$\frac{4}{3e+1}$，+∞）．…12分．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，導數(shù)且?guī)缀我饬x，考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值的關系，考查計算能力，屬于中檔題．