Question

18．已知函數(shù)$y={log_2}（{\frac{1}{4}{x^2}-x+a}）$在x∈[1，2]上恒為負值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 要使函數(shù)$y={log_2}（{\frac{1}{4}{x^2}-x+a}）$在x∈[1，2]上恒為負值，只需$0＜\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a＜1$在x∈[1，2]上恒成立即可．由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1，2]遞減，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：要使函數(shù)$y={log_2}（{\frac{1}{4}{x^2}-x+a}）$在x∈[1，2]上恒為負值，只需$0＜\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a＜1$在x∈[1，2]上恒成立即可．
①若$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a＞0$在x∈[1，2]上恒成立，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1，2]遞減，∴只需f（2）=1-2+a＞0，可得a＞1；
②若$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$＜1在x∈[1，2]上恒成立，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1，2]遞減，∴只需f（1）=$\frac{1}{4}-1+a$＜1，可得a$＜\frac{7}{4}$
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（1，$\frac{7}{4}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．