18.已知函數(shù)$y={log_2}({\frac{1}{4}{x^2}-x+a})$在x∈[1,2]上恒為負值,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 要使函數(shù)$y={log_2}({\frac{1}{4}{x^2}-x+a})$在x∈[1,2]上恒為負值,只需$0<\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a<1$在x∈[1,2]上恒成立即可.由函數(shù)f(x)=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1,2]遞減,可得實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:要使函數(shù)$y={log_2}({\frac{1}{4}{x^2}-x+a})$在x∈[1,2]上恒為負值,只需$0<\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a<1$在x∈[1,2]上恒成立即可.
①若$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a>0$在x∈[1,2]上恒成立,
∵函數(shù)f(x)=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1,2]遞減,∴只需f(2)=1-2+a>0,可得a>1;
②若$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$<1在x∈[1,2]上恒成立,
∵函數(shù)f(x)=$\frac{1}{4}{x}^{2}-x+a$在[1,2]遞減,∴只需f(1)=$\frac{1}{4}-1+a$<1,可得a$<\frac{7}{4}$
綜上,實數(shù)a的取值范圍為(1,$\frac{7}{4}$).

點評 本題考查了函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.

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