Question

2．P為曲線C₁：y=e^x上一點(diǎn)，Q為曲線C₂：y=lnx上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 考慮到兩曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得此距離．

解答 解：∵曲線y=e^x與曲線y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
故可先求點(diǎn)P到直線y=x的最近距離d，
設(shè)曲線y=e^x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即b=1，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴丨PQ丨的最小值為2d=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，同時(shí)考查了化歸的思想方法，屬于中檔題．