Question

13．設(shè)f（x）=|2x-1|+|1-x|
（1）解不等式f（x）≥x+4；
（2）若對任意的x∈R，不等式f（x）≥（m²-3m+3）•|x|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分情況將原不等式絕對值符號去掉，然后求解；
（2）分x=0與x≠0兩種情況研究：當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立；當(dāng)x≠0時(shí)，兩邊同除以|x|，然后求出左邊的最小值，解關(guān)于m的不等式即可．

解答 解：（1）x≥1時(shí)，由f（x）≥x+4，得3x-2≥x+4，解得：x≥3；
$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，由f（x）≥x+4，得x≥x+4，無解；
x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，由f（x）≥x+4，得2-3x≥x+4，解得：x≤-$\frac{1}{2}$；
綜上，不等式的解集是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞）；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，原不等式為2≥0，顯然恒成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，原不等式兩邊同除以|x|，則不等式可化為：
|2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥m2-3m+3恒成立．
因?yàn)閨2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥|（2-$\frac{1}{x}$）+（$\frac{1}{x}$-1）|=1，
所以要使原式恒成立，只需m²-3m+3≤1即可，即m²-3m+2≤0．
解得1≤m≤2．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題的解題思路，一般的不等式恒成立問題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．本題還考查了分類討論思想的應(yīng)用．