Question

1．已知點(diǎn)P（-1，m）在直線(xiàn)l₁：ax+y+2a=0上，且圓C：x²+y²-8y+12=0關(guān)于直線(xiàn)l₁對(duì)稱(chēng)．
（1）求a、m的值；
（2）若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l₂與圓C相切，求直線(xiàn)l₂的斜率．

Answer 1

分析 （1）由圓C：x²+y²-8y+12=0關(guān)于直線(xiàn)l₁對(duì)稱(chēng)，則圓心（0，4）在直線(xiàn)l₁，可得a，
由點(diǎn)P（-1，m）在直線(xiàn)l₁ 得m；
（2）可設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l₂的方程為：y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
由過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l₂與圓C相切，即$\frac{|-4+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k

解答 解：（1）∵圓C：x²+y²-8y+12=0關(guān)于直線(xiàn)l₁對(duì)稱(chēng)，
∴圓心（0，4）在直線(xiàn)l₁：ax+y+2a=0上，∴a=-2，
∴直線(xiàn)l₁：-2x+y-4=0，
∵已知點(diǎn)P（-1，m）在直線(xiàn)l₁：-2x+y-4=0上，∴m=2；
（2）由（1）得P（-1，2），
可設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l₂的方程為：y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
∵過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l₂與圓C相切，∴圓心到直線(xiàn)l₂的距離等于半徑，
又圓C：x²+y²-8y+12=0的圓心為（0，4），半徑為2
∴$\frac{|-4+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的對(duì)稱(chēng)性、圓的切線(xiàn)，屬于中檔題．