Question

18．已知函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的，如果存在x₀∈[a，b]，使得$|{f（{x_0}）}|=\frac{{\int_a^b{f（x）dx}}}{b-a}•{e^{x_0}}$成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）在[a，b]上的“好點(diǎn)”，那么函數(shù)f（x）=x²+2x在[-1，1]上的“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 計(jì)算${∫}_{-1}^{1}{（x}^{2}+x）dx$，作出y=|f（x）|和y=$\frac{1}{3}$e^x的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}{（x}^{2}+x）dx$=$\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{{x}^{2}}{2}$${|}_{\;}^{\;}$${\;}_{-1}^{1}$=$\frac{2}{3}$，
|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x，-1≤x＜0}\\{{x}^{2}+2x，0≤x≤1}\end{array}\right.$，
令|f（x）|=$\frac{1}{3}$e^x，
作出y=|f（x）|和y=$\frac{1}{3}$e^x的函數(shù)圖象，

由圖象可知y=|f（x）|和y=$\frac{1}{3}$e^x的函數(shù)圖象在[-1，1]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴f（x）=x²+2x在[-1，1]上有2個(gè)“好點(diǎn)”．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．