Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，${a_{n+1}}=（2|{sin\frac{nπ}{2}}|-1）{a_n}+2n$．
（Ⅰ）請寫出a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，不必證明；
（Ⅲ）請利用（Ⅱ）中猜想的結(jié)論，求數(shù)列{a_n}的前120項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用遞推關(guān)系可求得a₂，a₃，a₄，a₅．
（Ⅱ）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=4k-3}\\{a+2，n=4k-2}\\{-a+2，n=4k-1}\\{-a+8，n=4k}\end{array}\right.$（其中k∈N*）．       
（Ⅲ）由（II）利用分組求和方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）可求得a₂=a+2，a₃=-a+2，a₄=-a+8，a₅=a．
（Ⅱ）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=4k-3}\\{a+2，n=4k-2}\\{-a+2，n=4k-1}\\{-a+8，n=4k}\end{array}\right.$（其中k∈N*）．（每段1分）        
（Ⅲ）s₁₂₀=30a+（30a+2+10+…+234）+（-30a+2×30）+（-30a+8+16+…+240）…（10分）
=（2+10+…+234）+（2×30）+（8+16+…+240）
=$\frac{30×（2+234）}{2}$+60+$\frac{30}{2}×（8+240）$=10860．

點評 本小題主要考查不完全周期數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．