Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）cosx+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和與差公式打開，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化解為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（Ⅱ）當x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin（x-\frac{π}{6}）cosx+1=（sinxcos\frac{π}{6}-cosxsin\frac{π}{6}）cosx+1$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x+1=\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x-\frac{1}{4}cos2x+\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}（cos\frac{π}{6}sin2x-sin\frac{π}{6}cos2x）+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{3}{4}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{3}{4}$，
∵$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[0，\frac{5π}{6}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[0，1]$，
故當$x=\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{5}{4}$．
當$x=\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題