Question

8．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₂=2，前n項和為S_n，且滿足（S_n+2-S_n+1）-2（S_n+1-S_n）=2，n∈N^*，則{a_n}的通項a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n}-2，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由（S_n+2-S_n+1）-2（S_n+1-S_n）=2，n∈N^*，化為：a_n+2-2a_n+1=2，化為a_n+2+2=2（a_n+1+2），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵（S_n+2-S_n+1）-2（S_n+1-S_n）=2，n∈N^*，
∴a_n+2-2a_n+1=2，
化為a_n+2+2=2（a_n+1+2），
∴數(shù)列{a_n+1+2}是等比數(shù)列，公比為2，
∴a_n+1+2=4×2^n-1，可得a_n=2ⁿ-2（n≥2），
則{a_n}的通項a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n}-2，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n}-2，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．