Question

6．已知數(shù)列{a_n}是首項等于$\frac{1}{16}$且公比不為1的等比數(shù)列，S_n是它的前n項和，滿足${S_3}=4{S_2}-\frac{5}{16}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log_aa_n（a＞0且a≠1），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)求和公式列方程求出q，代入通項公式即可；
（2）對a進(jìn)行討論，判斷{b_n}的單調(diào)性和首項的符號，從而得出T_n的最值．

解答 解：（1）∵${S_3}=4{S_2}-\frac{5}{16}$，∵q≠1，∴$\frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=4×\frac{{{a_1}（1-{q^2}）}}{1-q}-\frac{5}{16}$．
整理得q²-3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去）．
∴${a_n}={a_1}×{q^{n-1}}={2^{n-5}}$．
（2）b_n=log_aa_n=（n-5）log_a2．
∴數(shù)列{b_n}是以log_a2為公差，以-4log_a2為首項的等差數(shù)列，
∴T_n=-4nlog_a2+$\frac{n（n-1）}{2}$log_a2=$\frac{{n}^{2}-9n}{2}$•log_a2．
1）當(dāng)a＞1時，有l(wèi)og_a2＞0，數(shù)列{b_n}是以log_a2為公差，以-4log_a2為首項的等差數(shù)列，
∴{b_n}是遞增數(shù)列，∴T_n沒有最大值．
由b_n≤0，得n≤5．所以（T_n）_min=T₄=T₅=-10log_a2．
2）當(dāng)0＜a＜1時，有l(wèi)og_a2＜0，數(shù)列{b_n}是以log_a2為公差的等差數(shù)列，
∴{b_n}是首項為正的遞減等差數(shù)列．∴T_n沒有最小值．
令b_n≥0，得n≤5，（T_n）_max=T₄=T₅=-10log_a2．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列，等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，屬于中檔題．