Question

16．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），S_△OAF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$p²．

Answer 1

分析 寫出直線AB的方程，聯(lián)立方程組解出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出面積．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{P}{2}$，0），
∴直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{P}{2}$），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
解得x₁=$\frac{p}{6}$，x₂=$\frac{3p}{2}$．
∵A點(diǎn)在x軸上方，∴A（$\frac{3p}{2}$，$\sqrt{3}$p）．
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$×$\frac{p}{2}$×$\sqrt{3}$p=$\frac{\sqrt{3}}{4}$p²，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{4}{p^2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，屬于中檔題．