Question

3．函數(shù)$f（x）=Asin（ωx-ϕ）+2（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$圖象的一個最高點值為$（\frac{5π}{12}，4）$，且相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)α∈（0，π），則$f（\frac{α}{2}）=3$，求α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦函數(shù)的最值求得A，函數(shù)的周期T=π，根據(jù)周期公式求得ω，將$（\frac{5π}{12}，4）$代入，根據(jù)φ的取值，即可求得φ的值，求得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）$f（\frac{α}{2}）=3$，代入f（x）的解析式，即可求得α的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=Asin（ωx-ϕ）+2（A，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的最大值為4，
∴2+A=4，即A=2，--------（2分）
∵圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即函數(shù)的周期T=π，
即T=$\frac{2π}{ω}$=π，得ω=2，--------（4分）
又∵圖象的一個最高點值為$（\frac{5π}{12}，4）$，
∴$\frac{5π}{12}×2-ϕ=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$
得$ϕ=\frac{π}{3}-2kπ（k∈z）$又$0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，
∴$ϕ=\frac{π}{3}$--------（6分）
∴f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2；--------（7分）
（Ⅱ）f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α-$\frac{π}{3}$）+2=3，即sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵α∈（0，π），∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
∴α=$\frac{π}{2}$，
α的值$\frac{π}{2}$．．--------（12分）

點評 本題考查正弦函數(shù)解析式的求法，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，周期公式，考查計算能力，屬于中檔題．