14.如圖,所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′,四邊形ABCD是菱形,其中E為BD的中點.
(1)求證:C′E∥面AB′D′;
(2)求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值.

分析 (1)取B′D′的中點為F,連AF,C′F,得AFC′E為平行四邊形,從而AF∥C′E,由此能證明C′E∥面AB′D′.
(2)取BC中點為G,則AD,DG,DD′兩兩垂直,以D為原點,DA、DG、DD′分別為x,y,z軸m建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值.

解答 證明:(1)如圖取B′D′的中點為F,
連AF,C′F,得AFC′E為平行四邊形.
∴AF∥C′E,
又AF?面AB′D′,C′E?面AB′D′,
∴C′E∥面AB′D′.
解:(2)∵ABCD為菱形,
且∠DCB=60°,
取BC中點為G,
則AD,DG,DD′兩兩垂直,
以D為原點,DA、DG、DD′分別為x,y,z軸m建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
由棱長為2得A(2,0,0),
B′(1,$\sqrt{3}$,2),D′(0,0,2),D(0,0,0),
$\overrightarrow{DA}$=(2,0,0),$\overrightarrow{D{D}^{'}}$=(0,0,2),
設(shè)平面AB'D'的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}^{'}}=-x+\sqrt{3}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}^{'}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,1),
又面ABD的法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
設(shè)面AB'D'與面ABD所成銳二面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
∴面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

點評 本題考查面線平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.$\frac{1+x}{y}$≥2且$\frac{1+y}{x}$≥2B.$\frac{1+x}{y}$≥2或$\frac{1+y}{x}$≥2C.$\frac{1+x}{y}$≥2且$\frac{1+y}{x}$<2D.$\frac{1+x}{y}$≥2或$\frac{1+y}{x}$<2

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5.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=100,S100=10,則S110=-110.

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2.(1)若不等式|x-m|<1成立的充分不必要條件為$\frac{1}{3}$<x<$\frac{1}{2}$,求實數(shù)m的取值范圍.
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9.已知角θ的終邊過點(2,3),則tan($\frac{11π}{4}$+θ)=( 。
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19.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足:a1=3,且a1,a4,a13成等比數(shù)列.
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4.一個盒子里有7只好晶體管,3只壞晶體管,從盒子里先取一個晶體管,然后不放回的再從盒子里取出一個晶體管,若已知第1只是好的,則第2只是壞的概率為( 。
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