Question

3．在平面直角坐標系xoy中，已知點P（2，1）在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）不經過坐標原點O的直線l與橢圓C交于A，B兩點（不與點P重合），且線段AB的中為D，直線OD的斜率為1，記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的離心率公式，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）根據中點坐標公式及直線斜率公式，求得x₁+x₂=y₁+y₂，利用點差法求得直線l的斜率，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可求得k₁•k₂為定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a²=2b²，
由P（2，1）在橢圓上，則$\frac{4}{2^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
解得：b²=3，則a²=6，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
由直線的斜率為1，則x₁+x₂=y₁+y₂，
由點A，B在橢圓上，則$\frac{{x}_{1}^{2}}{6}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{6}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$，
兩式相減整理得：$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{6}+\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{3}=0$，x₁-x₂+2（y₁-y₂）=0，則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
設直線l的方程y=-$\frac{1}{2}$x+t，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{1}{2}x+t}\end{array}\right.$，整理得：3x²-4tx+4t²-12=0，
則x₁+x₂=$\frac{4t}{3}$，x₁x₂=$\frac{4（{t}^{2}-3）}{3}$，
則k₁•k₂=$\frac{（{y}_{1}-1）（{y}_{2}-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{（{x}_{1}{x}_{2}）-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$，
=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{1}{x}_{2}-（\frac{t-1}{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-2t+{t}^{2}+1}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=$\frac{\frac{{t}^{2}-3}{3}-（\frac{t-1}{2}）（\frac{4t}{3}）-2t+{t}^{2}+1}{\frac{4（{t}^{2}-3）}{3}-2×（\frac{4t}{3}）+4}$=$\frac{1}{2}$，
∴k₁•k₂為定值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，點差法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．