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3.在平面直角坐標系xoy中,已知點P(2,1)在橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$上且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)不經過坐標原點O的直線l與橢圓C交于A,B兩點(不與點P重合),且線段AB的中為D,直線OD的斜率為1,記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求證:k1•k2為定值.

分析 (1)根據橢圓的離心率公式,將P代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)根據中點坐標公式及直線斜率公式,求得x1+x2=y1+y2,利用點差法求得直線l的斜率,將直線方程代入橢圓方程,利用韋達定理及直線的斜率公式,即可求得k1•k2為定值$\frac{1}{2}$.

解答 解:(1)由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,則a2=2b2,
由P(2,1)在橢圓上,則$\frac{4}{2^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$,
解得:b2=3,則a2=6,
∴橢圓的標準方程:$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),則D($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$),
由直線的斜率為1,則x1+x2=y1+y2,
由點A,B在橢圓上,則$\frac{{x}_{1}^{2}}{6}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$,$\frac{{x}_{2}^{2}}{6}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$,
兩式相減整理得:$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{6}+\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{3}=0$,x1-x2+2(y1-y2)=0,則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$,
設直線l的方程y=-$\frac{1}{2}$x+t,
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{1}{2}x+t}\end{array}\right.$,整理得:3x2-4tx+4t2-12=0,
則x1+x2=$\frac{4t}{3}$,x1x2=$\frac{4({t}^{2}-3)}{3}$,
則k1•k2=$\frac{({y}_{1}-1)({y}_{2}-1)}{({x}_{1}-2)({x}_{2}-2)}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-({y}_{1}+{y}_{2})+1}{({x}_{1}{x}_{2})-2({x}_{1}+{x}_{2})+4}$,
=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{1}{x}_{2}-(\frac{t-1}{2})({x}_{1}+{x}_{2})-2t+{t}^{2}+1}{{x}_{1}{x}_{2}-2({x}_{1}+{x}_{2})+4}$
=$\frac{\frac{{t}^{2}-3}{3}-(\frac{t-1}{2})(\frac{4t}{3})-2t+{t}^{2}+1}{\frac{4({t}^{2}-3)}{3}-2×(\frac{4t}{3})+4}$=$\frac{1}{2}$,
∴k1•k2為定值$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理,點差法的應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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