Question

4．已知△ABC中，$AB=1，BC=\sqrt{3}，BD$是AC邊上的中線．
（1）求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$；
（2）若$BD=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）利用△ABD的面積與△CBD的面積相等，即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，即可求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$；
（2）用余弦定理，BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB=AB²，①，BC²=BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB，…②，①+②得AB²+BC²=2BD²+2AD²，求出AD，即可求AC的長．

解答 解：（1）因?yàn)锽D是AC邊上的中線，
所以△ABD的面積與△CBD的面積相等，
即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，
所以$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$．                                 …（5分）
（2）在△ABC中，因?yàn)锳B=1，$BC=\sqrt{3}$，
利用余弦定理，BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB=AB²，①，
BC²=BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB，…②
①+②得AB²+BC²=2BD²+2AD²，所以$AD=\frac{1}{2}$，所以AC=1．         …（12分）

點(diǎn)評 本題考查余弦定理，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．