Question

12．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦距為$4\sqrt{2}$，短半軸長為2，過點P（-2，1）斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2c=4$\sqrt{2}$，b=2，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）直線l的方程為：y-1=x+2，即y=x+3．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與題意方程聯(lián)立化為：4x²+18x+15=0，利用弦長公式|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）由已知可得：2c=4$\sqrt{2}$，b=2，a²=b²+c²，聯(lián)立解得：c=2$\sqrt{2}$，b=2，a²=12．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）直線l的方程為：y-1=x+2，即y=x+3．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：4x²+18x+15=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$，x₁•x₂=$\frac{15}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[（-\frac{9}{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}]}$=$\frac{\sqrt{42}}{2}$．

點評 本題考查了題意的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．