Question

在（1+x²）（1-2x）⁶的展開式中，x⁵的系數為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：根據題意，先求出（1-2x）⁶展開式的通項，分析可得（1+x²）（1-2x）⁶展開式中出現x⁵的項有兩種情況，①，（1+x²）中出1，而（1-2x）⁶展開式中出x⁵項，②，（1+x²）中出x²項，而（1-2x）⁶展開式中出x³項，分別求出其系數，進而將求得的系數相加可得答案．

解答： 解：根據題意，（1-2x）⁶展開式的通項為T_r+1=C₆^r•（-2x）^r=（-1）^rC₆^r•2^rx^r，
則（1+x²）（1-2x）⁶的展開式中出現x⁵的項有兩種情況，
第一種情況（1+x²）中出1，而（1-2x）⁶展開式中出x⁵項，其系數為1×（-1）⁵C₆⁵2⁵=-192，
第二種情況（1+x²）中出x²項，而（1-2x）⁶展開式中出x³項，其系數為1×(-1)3

C

3 6

•23=-160，
則（1+x²）（1-2x）⁶展開式中x⁵的系數為-192-160=-352；
故答案為：-352．

點評：本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵是由多項式的乘法分析其展開式中x⁵項出現的情況．