Question

17．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它們的夾角為$\frac{2π}{3}$．點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，則x+y的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，化已知問題為三角函數(shù)的最值求解，可得答案．

解答 解：由題意，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)C（cosθ，sinθ），0≤θ≤$\frac{2π}{3}$
可得A（1，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=x（1，0）+y（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）得，
x-$\frac{1}{2}$y=cosθ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=sinθ，
∴$\frac{3}{2}$y=$\sqrt{3}$sinθ，∴x+y=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∵0≤θ≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$≤θ+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴1≤2sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤2
∴x+y的范圍為[1，2]，
故答案為：[1，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量基本定理，建立坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．