Question

8．若m是方程4${\;}^{x+\frac{1}{2}}$-9•2^x+4=0的根，則圓錐曲線x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出方程的兩個根，得到曲線的方程，然后求解離心率即可．

解答 解：∵m是方程4${\;}^{x+\frac{1}{2}}$-9•2^x+4=0的根，∴（2^x-4）（2•2^x-1）=0，
解之得x=2或x=-1，即m=2或m=-1．．
當m=2時，曲線x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，即x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，表示焦點在y軸上的橢圓，
∵a₁²=2且b₁²=1，∴a₁=$\sqrt{2}$，c₁=$\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{_{1}}^{2}}$=1，橢圓的離心率e₁=$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當m=-1時，曲線x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，即x²-y²=1，表示焦點在x軸上的雙曲線，
同理可得a₂=1，b₂=1，c²=$\sqrt{{{a}_{2}}^{2}+{_{2}}^{2}}$=$\sqrt{2}$，雙曲線的離心率e₂=$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$=$\sqrt{2}$．
綜上所述，圓錐曲線x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率是：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓錐曲線的方程的求法，離心率的求法，考查計算能力．