Question

3．三棱錐V-ABC的三條棱VA，VB，VC兩兩垂直，三個側面與底面所成的二面角大小分別為α，β，γ．求證：$cosαcosβcosγ（{\frac{1}{{{{cos}^2}α}}+\frac{1}{{{{cos}^2}β}}+\frac{1}{{{{cos}^2}γ}}}）≥\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設三棱錐V-ABC的三條棱VA，VB，VC的長度分別為a、b、c，如圖，過C作CD⊥AB于D，連結VD，三棱錐V-ABC的三條棱VA，VB，VC兩兩垂直，得∠VDC就是側面VAB與地面ABC所成角α．cos²α=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{1}{1+（\frac{c}{VD}）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}$；同理cos²β=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}$，cos²γ=$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}$．cos²α+cos²β+cos²γ=1，再證$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}}≥\sqrt{3}$．

解答 解：設三棱錐V-ABC的三條棱VA，VB，VC的長度分別為a、b、c
如圖，過C作CD⊥AB于D，連結VD，∵三棱錐V-ABC的三條棱VA，VB，VC兩兩垂直，∴VC⊥AB
∴AB⊥面VDC，∴∠VDC就是側面VAB與地面ABC所成角α．
cos²α=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{1}{1+（\frac{c}{VD}）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}$；
同理cos²β=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}$，cos²γ=$\frac{^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}$．
∴cos²α+cos²β+cos²γ=1，
所以要證：$cosαcosβcosγ（{\frac{1}{{{{cos}^2}α}}+\frac{1}{{{{cos}^2}β}}+\frac{1}{{{{cos}^2}γ}}}）≥\sqrt{3}$，只證$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}}}≥\sqrt{3}$．只證${a}^{4}+^{4}+{c}^{4}≥{a}^{2}^{2}+\$a²c²+b²c²，
又因為：a⁴+b⁴≥2a²b²，a⁴+c⁴≥2a^2c2，c⁴+b⁴≥2c²b²，顯然${a}^{4}+^{4}+{c}^{4}≥{a}^{2}^{2}+\$a²c²+b²c²，故原命題成立．

點評 本題考查了空間角，及證明不等式，轉化思想是關鍵，屬于難題．