Question

12．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，滿足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，則
由$\left\{\begin{array}{l}{b_2}+{S_2}=10\\{a_5}-2{b_2}={a_3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}q+6+d=10\\ 3+4d-2q=3+2d\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=2\end{array}\right.$，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，${b_n}={2^{n-1}}$．…（6分）
（2）由（1）可知c_n=（2n+1）•2^n-1．
∴T_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，…①
$2{T_n}=3•{2^1}+5•{2^2}+7•{2^3}+…+（2n-1）•{2^{n-1}}+（2n+1）•{2^n}$…②
①-②得：-T_n=3+2×（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ=1+2+2²+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．