Question

2．已知動圓M恒過點（0，1），且與直線y=-1相切．
（1）求圓心M的軌跡方程；
（2）動直線l過點P（0，-2），且與點M的軌跡交于A、B兩點，點C與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點．

Answer 1

分析 （1）由題意可知圓心M的軌跡為以（0，1）為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，根據(jù)拋物線的方程即可求得圓心M的軌跡方程；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C（-x₂，y₂）．代入拋物線方，由韋達定理及直線直線AC的方程為：y-y₂=-$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$（x+x₂），把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得4y=（x₂-x₁）x+8，令x=0，即可得出直線恒過定點．

解答 解：（1）∵動點M到直線y=-1的距離等于到定點C（0，1）的距離，
∴動點M的軌跡為拋物線，且$\frac{p}{2}$=1，解得：p=2，
∴動點M的軌跡方程為x²=4y；
（2）證明：由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C（-x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化為x²-4kx+8=0，
△=16k²-32＞0，
解得k＞$\sqrt{2}$或k＜-$\sqrt{2}$．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8．
直線直線AC的方程為：y-y₂=-$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$（x+x₂），
又∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴4ky-4k（kx₂-2）=（kx₂-kx₁）x+kx₁x₂-kx₂²，
化為4y=（x₂-x₁）x+x₂（4k-x₂），
∵x₁=4k-x₂，
∴4y=（x₂-x₁）x+8，
令x=0，則y=2，
∴直線AC恒過一定點（0，2）．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線的方程求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、拋物線定義的合理運用，屬于中檔題．