Question

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（　　）

• A． ω=π
• B． φ=$\frac{π}{4}$
• C． f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（2k-$\frac{1}{4}$，2k+$\frac{3}{4}$），k∈Z
• D． f（x）的對稱中心是（k+$\frac{1}{4}$，0），k∈Z

Answer 1

分析 由題意和圖象求出函數(shù)的周期，由周期公式求出ω的值，可判斷出A；把點（$\frac{1}{4}$，0）代入解析式化簡后，由題意求出φ的值判斷出B；由整體思想和正弦函數(shù)的單調(diào)性求出遞減區(qū)間，判斷出C；由整體思想和正弦函數(shù)的對稱中心求出f（x）的對稱中心，判斷出D．

解答 解：由圖象得，A=1，$\frac{1}{2}$T=$\frac{5}{4}-\frac{1}{4}$=1，則T=2，
由$T=\frac{2π}{ω}=2$ 得，ω=π，則A正確；
因為過點（$\frac{1}{4}$，0），所以sin（$\frac{1}{4}$π+φ）=0，
則$\frac{1}{4}$π+φ=kπ（k∈Z），φ=$-\frac{π}{4}$+kπ（k∈Z），
又|φ|＜π，則φ=$-\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，所以f（x）=sin（πx$-\frac{π}{4}$）或f（x）=sin（πx+$\frac{3π}{4}$），則B錯誤；
當(dāng)f（x）=sin（πx+$\frac{3π}{4}$）時，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤πx+\frac{3π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$-\frac{1}{4}+2k≤x≤\frac{3π}{4}+2k（k∈Z）$，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間是（2k-$\frac{1}{4}$，2k+$\frac{3}{4}$），k∈Z，則C正確；
當(dāng)f（x）=sin（πx$-\frac{π}{4}$）時，由πx$-\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z）得，x=k+$\frac{1}{4}$（k∈Z），
所以f（x）的對稱中心是（k+$\frac{1}{4}$，0），k∈Z，則D正確；
故選B．

點評 本題考查由圖象求形如y=Asin（ωx+φ）的解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱中心，以及整體思想，屬于中檔題．