Question

9．已知函數(shù)f（x）在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若方程f'（x）=0無解，且f[f（x）-2017^x]=2017，當(dāng)g（x）=sinx-cosx-kx在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上與f（x）在R上的單調(diào)性相同時(shí)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，$\sqrt{2}$]
• C． [-1，$\sqrt{2}$]
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意可知：f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則f（x）-2017^x為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）為R上的增函數(shù)，則g（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則g'（x）≥0恒成立，則k≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）_min，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得k的取值范圍．

解答 解：若方程f'（x）=0無解，
則 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，
?x∈R都有f[f（x）-2017^x]=2017，
則f（x）-2017^x為定值，
設(shè)t=f（x）-2017^x，則f（x）=t+2017^x，易知f（x）為R上的增函數(shù)，
∵g（x）=sinx-cosx-kx，
∴$g'（x）=cosx+sinx-k=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-k$，
又g（x）與f（x）的單調(diào)性相同，
∴g（x）在R上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，g'（x）≥0恒成立，
當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，$x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，$sin（{x+\frac{π}{4}}）∈[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$，
$\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）∈[{-1，\sqrt{2}}]$，
此時(shí)k≤-1，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．