Question

4．如圖，已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2，0），斜率為$\frac{4}{3}$，直線l和拋物線y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求：
（1）P、M兩點(diǎn)間的距離|PM|；
（2）線段AB的長(zhǎng)|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程y²=2x，利用參數(shù)的幾何意義求出P、M兩點(diǎn)間的距離|PM|；
（2）利用參數(shù)的幾何意義求出線段AB的長(zhǎng)|AB|．

解答 解：（1）∵直線l過(guò)點(diǎn)P（2，0），斜率為$\frac{4}{3}$，
設(shè)直線的傾斜角為α，tanα=$\frac{4}{3}$，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)）．
∵直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y²=2x中，
整理得8t²-15t-50=0，
則△=（-15）²-4×8×（-50）＞0．
設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根分別為t₁、t₂，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁t₂=-$\frac{25}{4}$
由M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)t的幾何意義，得|PM|=$\frac{1}{2}$|t₁+t₂|=$\frac{15}{16}$
（2）|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{\frac{225}{64}+4×\frac{25}{4}}$=$\frac{5}{8}\sqrt{73}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．