Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線E的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設(shè)E的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)第一象限的漸進(jìn)線為l．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)過(guò)F與l垂直的直線與y軸相交于點(diǎn)A，P是l上異于原點(diǎn)O的點(diǎn)，當(dāng)A，O，F(xiàn)，P四點(diǎn)在同一圓上時(shí)，求這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)P的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線E的參數(shù)方程求出雙曲線E的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．從而求出直線l在直角坐標(biāo)系中的方程，由此能求出l的極坐標(biāo)方程．
（2）由題意A、O、F、P四點(diǎn)共圓等價(jià)于P是點(diǎn)A，O，F(xiàn)確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點(diǎn)（異于原點(diǎn)O），線段AF為圓C的直徑，A是過(guò)F與l垂直的直線與y軸的交點(diǎn)，從而C的半徑為2，圓心的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{3}$），由此能求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵雙曲線E的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴$\frac{{x}^{2}}{3}=\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，${y}^{2}=ta{n}^{2}θ=\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}-\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$=1，
∴雙曲線E的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
∴直線l在直角坐標(biāo)系中的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，其過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為$\frac{π}{6}$，
∴l(xiāng)的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{6}$．
（2）由題意A、O、F、P四點(diǎn)共圓等價(jià)于P是點(diǎn)A，O，F(xiàn)確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點(diǎn)（異于原點(diǎn)O），
∵AO⊥OF，∴線段AF為圓C的直徑，
由（Ⅰ）知，|OF|=2，
又A是過(guò)F與l垂直的直線與y軸的交點(diǎn)，
∴∠AFO=$\frac{π}{3}$，|AF|=4，
于是圓C的半徑為2，圓心的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{3}$），
∴圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=4cos（\frac{π}{3}-θ）$，
此時(shí)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4cos（$\frac{π}{3}-\frac{π}{6}$），$\frac{π}{6}$），即（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的極坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．