Question

6．已知雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在兩點A、B，使∠AOB=120°，其中O為坐標(biāo)原點，則曲線C的離心率的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得$\frac{a}$＞tan60°=$\sqrt{3}$，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：由C的右支上存在兩點A、B，使∠AOB=120°，
而漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$＞tan60°=$\sqrt{3}$，
即為b＞$\sqrt{3}$a，即為b²＞3a²，
即c²-a²＞3a²，
即有c²＞4a²，
即c＞2a，
e=$\frac{c}{a}$＞2，
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．