Question

15．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，其前n項和為S_n，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}+1}{2}{，a}_{n}是奇數(shù)}\\{{3a}_{n}-1{，a}_{n}是偶數(shù)}\end{array}\right.$，若S₃=10，則S₁₈₀=（　�。�

• A． 600或900
• B． 900或560
• C． 900
• D． 600

Answer 1

分析 對a₁與a₂分類討論（奇數(shù)，偶數(shù)），利用遞推關系可得數(shù)列的周期性，即可得出．

解答 解：（ⅰ）當a₁為奇數(shù)時，a₂=$\frac{{a}_{1}+1}{2}$，此時若a₂為奇數(shù)，則a₃=$\frac{{a}_{2}+1}{2}$=$\frac{{a}_{1}+3}{4}$，
∴S₃=10=a₁+$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{1}+3}{4}$，解得a₁=5，此時的數(shù)列{a_n}為5，3，2，5，3，2，…．
（ⅱ）當a₁為奇數(shù)時，a₂=$\frac{{a}_{1}+1}{2}$，此時若a₂為偶數(shù)，則a₃=3a₂-1=$\frac{3（{a}_{1}+1）}{2}$-1，
∴S₃=10=a₁+$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{3（{a}_{1}+1）}{2}$-1，解得a₁=3，此時的數(shù)列{a_n}為3，2，5，3，2，5，…；
（ⅲ）當a₁為偶數(shù)時，a₂=3a₁-1，此時a₂為奇數(shù)，則a₃=$\frac{{a}_{2}+1}{2}$=$\frac{3{a}_{1}}{2}$，∴S₃=10=a₁+3a₁-1+$\frac{3{a}_{1}}{2}$，
解得a₁=2，此時的數(shù)列{a_n}為2，5，3，2，5，3，…．
上述三種情況數(shù)列{a_n}均為3周期數(shù)列，又60×3=180，∴S₁₈₀=60×（5+3+2）=600．
故選：D．

點評 本題考查了分類討論方法、數(shù)列的遞推關系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．