Question

20．已知函數(shù)f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx．
（Ⅰ）將函數(shù)f（2x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，求函數(shù)g（x）的值域；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，且滿足f（A）=$\sqrt{3}$+1，A∈（0，$\frac{π}{2}$），a=2$\sqrt{3}$，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得數(shù)g（x）的值域．
（Ⅱ）先求得cosA的值，利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx=cosx²-sinx²+2sin²x+2sinx=cosx²+sinx²+2sinx=1+2sinx，
即f（x）=1+2sinx，∴函數(shù)f（2x）=1+2sin2x，
∵函數(shù)f（2x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
∴$g（x）=2sin[2（x-\frac{π}{6}）]+1$，∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[-1，0]，∴g（x）∈[-1，0]，
所以函數(shù)g（x）的值域為[0，3]．
（Ⅱ）解：∵$f（A）=\sqrt{3}+1$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；因為$A∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$cosA=\frac{1}{2}$．
又$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，$a=2\sqrt{3}$，b=2，∴c=4．
所以，△ABC面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，余弦定理，屬于中檔題．