Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+b1n（x+1），若對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f（x）≥f（1）成立，則實(shí)數(shù)b的值為-4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定義域上的最小值是f（1），函數(shù)在x=1處取得最小值，說(shuō)明x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，f′（1）=0，解之可得b的值．

解答 解：根據(jù)題意f（x）≥f（1）成立，
得f（x）在定義域（-1，+∞）上的最小值是f（1），
∴函數(shù)在x=1處取得最小值，說(shuō)明x=1也是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²+b1n（x+1），
f′（x）=2x+$\frac{x+1}$，
所以f′（1）=0，得2+$\frac{2}$=0，可得b=-4．
檢驗(yàn)b=-4符合題意．
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．