Question

14．給出下列四個結(jié)論：
（1）如果${（3x-\frac{1}{{\root{3}{x^2}}}）^n}$的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中$\frac{1}{x^3}$的系數(shù)是-21；
（2）用相關(guān)指數(shù)r來刻畫回歸效果，r的值越大，說明模型的擬合效果越差；
（3）若f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；
（4）一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，且a，b，c∈（0，1），已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2，則$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$的最小值為$\frac{16}{3}$；
其中正確結(jié)論的序號為（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）由${（3x-\frac{1}{{\root{3}{x^2}}}）^n}$的展開式中各項系數(shù)之和為128可得（3-1）ⁿ=128⇒n=7，再利用T_r+1=${C}_{7}^{r}$•3^7-r•（-1）^r${x}^{7-\frac{5}{3}r}$，令7-$\frac{5}{3}r$=-3得：r=6，從而得展開式中$\frac{1}{x^3}$的系數(shù)；可判斷（1）錯誤；
（2）由相關(guān)指數(shù)r的含有知，|r|的值越大，說明模型的擬合效果越好，可判斷（2）錯誤；
（3）f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），利用-x替換x，可得f（2-x）=f（x），即f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，可判斷（3）正確；
（4）由3a+2b+0•c=2，a，b，c∈（0，1），可得$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$）•$\frac{1}{2}$（3a+2b），利用基本不等式可求得$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$=$\frac{1}{2}$（6+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{2}{3}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+4）=$\frac{16}{3}$（當且僅當a=2b，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$時取“=”），可判斷（4）正確．

解答 解：（1）∵${（3x-\frac{1}{{\root{3}{x^2}}}）^n}$的展開式中各項系數(shù)之和為128，∴（3-1）ⁿ=128=2⁷，∴n=7，
∴T_r+1=${C}_{7}^{r}$•3^7-r•（-1）^r${x}^{7-\frac{5}{3}r}$，令7-$\frac{5}{3}r$=-3得：r=6，
∴展開式中$\frac{1}{x^3}$的系數(shù)是${C}_{7}^{6}$•3^7-6•（-1）⁶=21≠-21，故（1）錯誤；
（2）用相關(guān)指數(shù)r來刻畫回歸效果，|r|的值越大，說明模型的擬合效果越好，故（2）錯誤；
（3）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），
∴f（-x+2）=-f（-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，故（3）正確；
（4）∵3a+2b+0•c=2，a，b，c∈（0，1），
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$）•$\frac{1}{2}$（3a+2b）=$\frac{1}{2}$（6+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{2}{3}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+4）=$\frac{16}{3}$（當且僅當a=2b，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$時取“=”），故（4）正確．
其中正確結(jié)論的序號為：（3）（4）．
故答案為：（3）（4）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查二項式定理、相關(guān)指數(shù)、函數(shù)的奇偶性、對稱性及概率統(tǒng)計與基本不等式的綜合應用，屬于難題．