Question

3．已知從A地到B地共有兩條路徑L₁和L₂，據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過兩條路徑所用的時間互不影響，且經(jīng)過L₁與L₂所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖（1）和圖（2）．

現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于從A地到B地．
（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？
（2）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對（1）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）用A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，40分鐘內(nèi)趕到B地”，B_i表示事件“乙選擇路徑L_i時，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i=1，2．由頻率分布直方圖及頻率估計概率求出P（A₁）＞P（A₂），從而甲應(yīng)選擇L₁，P（B₂）＞P（B₁），從而乙應(yīng)選擇L₂．
（2）用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，P（M）=0.6，P（N）=0.9，M，N相互獨立，由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）用A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，40分鐘內(nèi)趕到B地”，
B_i表示事件“乙選擇路徑L_i時，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i=1，2．…（1分）
由頻率分布直方圖及頻率估計相應(yīng)的概率可得：
P（A₁）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，
P（A₂）=（0.01+0.04）×10=0.5．
∵P（A₁）＞P（A₂），故甲應(yīng)選擇L₁．…（3分）
P（B₁）=（0.01+0.02+0.03+0.02）×10=0.8，
P（B₂）=（0.01+0.04+0.04）×10=0.9．
∵P（B₂）＞P（B₁），故乙應(yīng)選擇L₂．…（5分）
（2）用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，
由（1）知P（M）=0.6，P（N）=0.9，又由題意知，M，N相互獨立，…（7分）
∴P（X=0）=P（$\overline M\overline N$）=P（$\overline M$）P（$\overline N$）=0.4×0.1=0.04；
P（X=1）=P（$\overline M$N+M$\overline N$）=P（$\overline M$）P（N）+P（M）P（$\overline N$）
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42；
P（X=2）=P（MN）=P（M）P（N）=0.6×0.9=0.54．…（10分）
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

∴E（X）=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．