Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=$\sqrt{2}$，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO⊥面ABB₁A₁
（Ⅰ）證明：BC⊥AB₁
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A-BC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出DB⊥AB₁，CD⊥AB₁，從而AB₁⊥平面BDC，由此能證明AB₁⊥BC．
（Ⅱ）以O為坐標原點，OA、OD、OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BC-B₁的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）由△AB₁B與△DBA相似，知DB⊥AB₁，
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥AB₁，
∴AB₁⊥平面BDC，∴AB₁⊥BC．---（6分）
解：（Ⅱ）以O為坐標原點，OA、OD、OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（0，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），C（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B₁（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，0），
$\overrightarrow{BC}$=（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），
設平面ABC，平面BCB₁的法向量分別為$\overrightarrow{n}=（x，y，z），\overrightarrow{m}=（a，b，c）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}=\frac{\sqrt{6}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{6}}{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，-1，\sqrt{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}=\frac{\sqrt{6}}{3}b+\frac{\sqrt{3}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{m}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{6}}{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{70}}{35}$，
∴二面角A-BC-B₁的余弦值為-$\frac{2\sqrt{70}}{35}$．-----（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．