Question

11．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（1）求A的大小；
（2）若a=7，b=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、商的關(guān)系化簡式子，求出tanA的值，由A的范圍求出角A的大小；
（2）由條件和余弦定理可求c的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）依正弦定理可將asinB=$\sqrt{3}$bcosA化為：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA…（2分）
因?yàn)樵凇鰽BC中，sinB＞0，
所以sinA=$\sqrt{3}$cosA，即tanA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．                …（5分）
（2）因?yàn)�，a=7，b=5，A=$\frac{π}{3}$，
所以，由余弦定理可得：49=25+c²-2×$5×c×\frac{1}{2}$，
整理可得：c²-5c-24=0，解得：c=8，或-3（舍去），
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．