Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^{-x}}}}{x}$．
（1）求曲線y=f（x）在點$（1，\frac{1}{e}）$處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）求導后求出f′（1），直接由點斜式寫出切線方程；
（2）討論導數(shù)的正負，求出單調(diào)性，從而求出極值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{-{e}^{-x}（x+1）}{{x}^{2}}$，．f′（1）=-2e^-1．
∴曲線y=f（x）在點$（1，\frac{1}{e}）$處的切線方程為：y-e^-1=-2e^-1（x-1）
即2x+ey-3=0為所求．
（2）f′（x）=$\frac{-{e}^{-x}（x+1）}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，得x=-1
x，f′（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	-
f（x）	遞增	極大值	遞減	遞減

∵函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：（-∞，-1），減區(qū)間：（-1，0），（0，+∞），有極大值f（-1）=-e

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與單調(diào)性、極值，屬于中檔題．