Question

7．為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x（單位：噸）對價格y（單位：千元/噸）和利潤z的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如表：

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤z取到最大值？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=62.7$，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=55．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)計算平均數(shù)與回歸系數(shù)，即可寫出線性回歸方程；
（2）年利潤函數(shù)為z=x（y-2），利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（7.0+6.5+5.5+3.8+2.2）=5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=1×7.0+2×6.5+3×5.5+4×3.8+5×2.2=62.7，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{62.7-5×3×5}{55-5{×3}^{2}}$=-1.23，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=5-（-1.23）×3=8.69，
∴線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-1.23x+8.69；
（2）年利潤函數(shù)為z=x（y-2）=-1.23x²+6.69x，
所以當(dāng)x=-$\frac{6.69}{-1.23}$≈2.72時，年利潤取得最大值．

點評 本題考查了求線性回歸方程以及利用回歸方程預(yù)測生產(chǎn)問題，是基礎(chǔ)題．