Question

16．已知x₁，x₂，x₃是函數(shù)f（x）=$\frac{kx}{{e}^{x}}$-lnx+x（k∈R）的三個極值點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂＜x₃，有下列四個關(guān)于函數(shù)f（x）的結(jié)論：①k＞e²；②x₂=1；③f（x₁）=f（x₃）；④f（x）＞2恒成立，其中正確的序號為②③④．

Answer 1

分析 f′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-kx）}{x{e}^{x}}$，（x＞0），記g（x）=e^x-kx，g′（x）=e^x-k
分k≤1，k＞1討論即可判定①，
又g（1）=e-k＜0，可得x₁＜x₂=1＜x₃，可判定②
由上可得x₁，x₃是g（x）=0的兩個根，即e${\;}^{{x}_{1}}$=kx₁，e${\;}^{{x}_{3}}$=kx₃，
可得f（x₁）=$\frac{k{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}-ln{x}_{1}+{x}_{1}$=1-ln$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{k}+{x}_{1}$=1+lnk，同理f（x₃）=1+lnk，可判定③；
由以上推導(dǎo)可得f（x）在（0，x₁）遞減，在（x₁，1）遞增，在（1，x₃）上遞減，在（₃，+∞）上遞增．
即可得f（x）_min=f（x₁）=f（x₃）=1+lnk＞1+lne=2，可判定④．

解答 解：f′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-kx）}{x{e}^{x}}$，（x＞0），記g（x）=e^x-kx，g′（x）=e^x-k
當(dāng)k≤1時，則有x＞0⇒g′（x）＞e⁰-k＞0⇒g（x）在（0，+∞）上遞增，∴g（x）=0至多有一解，⇒f′（x）=0至多有兩解，不符合題意．
當(dāng)k＞1時，由g（x）得單調(diào)性可知g（x）_min=g（lnk）=k-lnk，要使函數(shù)f（x）有三個極值點(diǎn)，即f′（x）=0恰有三個不等正實(shí)數(shù)根，∴g（x）_min=k-klnk＜0
解得k＞e，故①錯；
   又∵g（1）=e-k＜0，且1是函數(shù)f（x）=$\frac{kx}{{e}^{x}}$-lnx+x（k∈R）的一個極值點(diǎn)，∴x₁＜x₂=1＜x₃，故②正確；
由上可得x₁，x₃是g（x）=0的兩個根，即e${\;}^{{x}_{1}}$=kx₁，e${\;}^{{x}_{3}}$=kx₃，
∴f（x₁）=$\frac{k{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}-ln{x}_{1}+{x}_{1}$=1-ln$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{k}+{x}_{1}$=1+lnk，同理f（x₃）=1+lnk，故③正確；
由以上推導(dǎo)可得f（x）在（0，x₁）遞減，在（x₁，1）遞增，在（1，x₃）上遞減，在（₃，+∞）上遞增．
∴f（x）_min=f（x₁）=f（x₃）=1+lnk＞1+lne=2，故④正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．