Question

18．如圖，樹頂A離地面4.8 m，樹上另一點(diǎn)B離地面2.4m，在離地面1.6m的C處看此樹，離此樹多少m時(shí)看A，B的視角最大（　�。�

• A． 2.2
• B． 2
• C． 1.8
• D． 1.6

Answer 1

分析 設(shè)他應(yīng)離此樹x米，進(jìn)而表示出tan∠BCD與tan∠ACD，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式表示出tan∠ACB，利用基本不等式求出視角最大時(shí)x的值即可．

解答 解：設(shè)他應(yīng)離此樹x米，
在Rt△BCD中，BD=0.8米，CD=x米，
∴tan∠BCD=$\frac{0.8}{x}$，
在Rt△ACD中，AD=3.2米，CD=x米，
∴tan∠ACD=$\frac{3.2}{x}$，
在△ABC中，tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）
=$\frac{tan∠ACD-tan∠BCD}{1+tan∠ACDtan∠BCD}$=$\frac{\frac{3.2}{x}-\frac{0.8}{x}}{1+\frac{3.2×0.8}{{x}^{2}}}$=$\frac{2.4}{x+\frac{2.56}{x}}$，
∵x+$\frac{2.56}{x}$≥3.2，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{2.56}{x}$，即x=1.6時(shí)取等號；離此樹1.6m時(shí)看A，B的視角最大；
故選D．

點(diǎn)評 此題考查了基本不等式在實(shí)際問題的應(yīng)用；由題意畫出示意圖，根據(jù)直角三角形的內(nèi)角公式列出關(guān)于所求的基本不等式的形式，進(jìn)一步求最值是關(guān)鍵．