Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=mx²+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（I）函數(shù)h（x）=xf （x），當(dāng)a=l，b=0時，若函數(shù)h（x）與g（x）具有相同的單調(diào)區(qū)間，求m的值；
（II）記F（x）=f（x）-g（x）．當(dāng)a=2，m=0時，若函數(shù)F（x）在[-1，2]上存在兩個不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解導(dǎo)數(shù)得出：h（x）=xe^x，（-∞，-1）上單調(diào)遞減，（-1，+∞）單調(diào)遞增，x=-1時h（x）去極小值．
（Ⅱ）當(dāng)m=0時，記F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax-b，F(xiàn)（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）的最小值為F（ln2）=2-2ln2-b，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出：2-2ln2-b＜0，F(xiàn)（-1）≥0，F(xiàn)（2）≥0．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=e^x，函數(shù)h（x）=xf（x），
∴h（x）=xe^x，∴h′（x）=e^x+xe^x，
∵h(yuǎn)′（x）=e^x+xe^x=0，x=-1，
h′（x）=e^x+xe^x＞0，x＞-1，
h′（x）=e^x+xe^x＜0，x＜-1，
∴h（x）=xe^x，（-∞，-1）上單調(diào)遞減，（-1，+∞）單調(diào)遞增，x=-1時h（x）取極小值，
∵當(dāng)a=1，b=0時g（x）=mx²+ax+b=mx²+x，若函數(shù)h（x）與g（x）具有相同的單調(diào)區(qū)間，
∴-$\frac{1}{2m}$=-1，m=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）當(dāng)m=0，a=2時，F(xiàn)（x）=e^x-2x-b，
∴F′（x）=e^x-2，
∵F′（x）=e^x-2=0，x=ln2，
F′（x）=e^x-2＞0，x＞ln2
F′（x）=e^x-2＜0，x＜ln2，
∴F（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
F（x）的最小值為F（ln2）=2-2ln2-b，
∵函數(shù)F（x）在[-1，2]上存在兩個不同的零點(diǎn)，
∴2-2ln2-b＜0，F(xiàn)（-1）≥0，F(xiàn)（2）≥0，
解得出：b＞2-2ln2，b≤$\frac{1}{e}$+2，b≤e²-4，
即2-2ln2＜b≤$\frac{1}{e}$+2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)思想的運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)在求解單調(diào)性，最值中的應(yīng)用，知識比較多，難度較大．