Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin⁴x+cos⁴x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2xcos2x
（1）求f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin⁴x+cos⁴x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2xcos2x
化簡(jiǎn)可得：f（x）=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin4x
=1-$\frac{1}{2}$sin²2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin4x
=1-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos4x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin4x
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin4x+$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，
那么：4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]
∴sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]
當(dāng)4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值為$\frac{1}{2}$，此時(shí)x=$\frac{π}{4}$．
當(dāng)4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為$\frac{5}{4}$，此時(shí)x=$\frac{π}{12}$．
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求f（x）的最大值為$\frac{5}{4}$，最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．